Nilai \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \ \frac{1 - \cos x}{x} = \cdots \)
Pembahasan:
Jika kita substitusi nilai \(x = 0\) ke fungsi limitnya diperoleh bentuk tak tentu 0/0 sehingga di sini kita tidak bisa gunakan cara substitusi langsung untuk memperoleh nilai limit.
Kita bisa selesaikan limit tersebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dari fungsi limitnya dengan \((1 + \cos x)\) dan kemudian menggunakan teorema limit trigonometri. Perhatikan berikut ini:
\begin{aligned} \lim_{x\to 0} \ \frac{1 - \cos x}{x} &= \lim_{x\to 0} \ \frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \\[8pt] &= \lim_{x\to 0} \ \frac{1-\cos^2 x}{x \ (1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \ \frac{\sin^2 x}{x \ (1+\cos x)} \\[8pt] &= \lim_{x\to 0} \ \frac{1}{1 + \cos x} \cdot \lim_{x\to 0} \ \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \ \sin x \\[8pt] &= \frac{1}{1 + \cos 0} \cdot 1 \cdot \sin 0 = \frac{1}{1+1} \cdot 1 \ \cdot 0 \\[8pt] &= 0 \end{aligned}